里奇曲率（Ricci curvature）

假設你要的不是某個特定二維平面裡的曲率，而是繞著某給定方向、所有方向曲率的某種平均。那個平均量就是里奇曲率。直覺上，它回答一個體積問題：若你沿某選定方向射出一束細小的測地線錐，這束線是擠在一起（體積比平直空間縮得更快）還是散開？正里奇曲率意味測地線聚焦、小球的體積比平直空間預測的小；負則意味它們散焦。

精確地說，里奇張量由黎曼張量縮並而得——對一對指標求和，這是取平均的張量版本。在圖卡裡，Ric_jk = sum_i R^i_ijk。沿單位方向 v 的里奇曲率，等於所有含 v 的二維平面（在一組單範正交標架上）的截面曲率之和，所以它確實是繞 v 的截面曲率的平均（乘開後）。因為它取平均，在四維及以上，里奇所帶資訊比完整黎曼張量少——許多不同的彎曲空間共有相同的里奇張量——但在三維，它其實決定整個黎曼張量，在二維則一切坍縮為單一的高斯曲率。

里奇曲率是廣義相對論的主角。愛因斯坦場方程把由里奇張量造出的曲率表式（愛因斯坦張量）等同於質量與能量的分佈：物質告訴里奇曲率該如何彎曲，而那份彎曲就是重力。它也驅動里奇流（Ricci flow）——漢密爾頓與佩雷爾曼用以證明龐加萊猜想的幾何熱方程，其中度量藉由抹平自身的里奇曲率而演化。誠實的提醒：里奇曲率掌管測地線束的體積如何變化，卻看不見形狀的每個細節——里奇看不到的那部分剩餘資訊，是黎曼張量的外爾（Weyl）部分。