鞍結分岔（saddle-node bifurcation）
想像兩個不動點——一穩定、一不穩定——隨著你轉動旋鈕而相向滑近。在某個臨界設定，它們相遇、瞬間融合成單一個半穩定點，然後兩者都消失，彷彿穩態互相抵消、什麼都沒留下。把旋鈕往反方向轉，一對穩定－不穩定的點就「從藍天裡」憑空冒出來。這種一對平衡點的創造或湮滅，就是鞍結分岔，是不動點被生成與被消滅的最基本方式。
其正規形——展現此行為的最簡方程，每個鞍結在轉變附近都約化成它——是 x' = r + x^2（或 x' = r - x^2，依符號慣例而定）。解 r + x^2 = 0：當 r < 0 時有兩個不動點 x = +/- sqrt(-r)，位於 -sqrt(-r) 的穩定、位於 +sqrt(-r) 的不穩定；在 r = 0 時它們在 x = 0 相撞成單一個半穩定點；當 r > 0 時平方根為虛數，所以沒有實的不動點留下。其特徵是分岔圖中那條拋物線狀的平衡點曲線，一個平滑的折疊自己折回，穩定與不穩定分支在鼻尖處相切相遇。
「鞍結」這名字來自高維版本，其中相撞的一對是一個鞍點和一個結點。這個分岔是突然出現與突然崩潰背後的機制：一個原本根本不存在的狀態，隨參數越過門檻而出現（雷射開啟、開關卡定），或你所依賴的某個穩定運作點被消滅、系統跳到別處（族群越過滅絕門檻、結構突然失效）。它是建構塊，跨臨界分岔與叉式分岔都是它更對稱的特殊變體。
一個定額捕撈的漁場模型 x' = r x (1 - x) - h，可寫成一個二次式，它的兩個平衡點是一個健康的存量與一個不穩定的門檻。當捕撈率 h 升到臨界值 h_c 時，這兩個在一個鞍結中相撞並消失——越過 h_c 後就不存在正的穩態存量，族群隨之崩潰。
捕撈越過折疊點，便在一個鞍結分岔中摧毀了穩定存量——一場突然而不可逆的崩潰。
這種崩潰通常無法靠往回退一小步來逆轉：把參數剛好調回門檻以下，不一定能恢復失去的狀態，因為那條穩定分支根本已經消失。正是這種不可逆性，使鞍結成為遲滯與臨界點的根源。