旋轉矩陣

旋轉矩陣是一格九個數字的整齊方陣——三行三列——它刻畫的是一個姿態，也就是一個物體究竟是怎麼轉著的。讀它最清爽的辦法是一列一列地看：它的三列各自告訴你，轉動之後某根座標軸現在指向哪裡。把這三個答案並排擺好，這個小方陣就裝下了整個旋轉，既不必擺弄角度，也不用操心繞圈打轉的問題。把這個方陣交給機器人，它就精確知道夾爪、相機或者整個機身朝著哪個方向。

同一個方陣也是一台給箭頭重新瞄準的機器。讓一個位置向量乘上一個旋轉矩陣，出來的就是這同一個向量在旋轉之後的樣子——或者同樣有用地，是同一個物理點的數字從一個座標系翻譯到另一個座標系後的結果。這正是空間機器人裡日常的主力動作：相機報告說杯子在左上方，乘上正確的旋轉矩陣之後，就變成了機械臂真正能朝著去的一個方向。把兩次旋轉的矩陣相乘，就能連著施加兩次轉動，像一步步照路線走那樣乾淨俐落地把轉動串接起來。

不是隨便九個數字都行。真正的旋轉矩陣是正交規範的——它的三列各自恰好是一個單位長，且兩兩完全垂直——除此之外它還必須是右手的（行列式為 +1，從而排除鏡像翻轉）。這兩組條件合起來，正是它在轉動東西時既不會拉伸、壓扁、扭歪、也不會鏡像翻轉它們的原因。長度和角度都原封不動地保留下來；一個正方體仍是正方體，只是轉了個向。這一族乖巧的矩陣，數學家稱之為 SO(3)，即特殊正交群，這不過是「所有規規矩矩的三維旋轉」的一個正式名稱。它最大的優點是可靠；它略微的代價是，用九個數字去釘住一件其實只需要三個數字的事，這也是當記憶體或平滑性要緊時人們常常更偏愛四元數的原因之一。