級數解與特殊函數
級數解的收斂半徑（radius of convergence）
一個冪級數解的好壞，僅及於那塊無窮和真正收斂到有限值的區域。在那區域之外級數毫無意義，其項無界地增長。收斂半徑就是從你的展開點向外量起、級數忠實代表一個真正解的那段距離；它是你答案的觸及範圍。
美妙之處在於，你通常能在算出任何一個係數之前就預測這個半徑。對在常點 x0 附近展開的 y'' + P(x) y' + Q(x) y = 0，有一條定理保證：級數解至少收斂到方程最近的奇點，即 P 或 Q 失常的最近之處（在複平面上量距離）。所以你找出奇點，量出 x0 到最近那個的距離，那段距離就是保證的最小半徑。例如把 (1 + x^2) y'' + ... 在 x0 = 0 展開，係數在 1 + x^2 = 0 即 x = i 與 x = -i 處奇異，各距原點 1，故實數級數至少在 |x| < 1 收斂，儘管實軸上看不出任何問題。
這正是分類奇點如此直接划算的原因：奇點把你的解圍了起來。半徑可以大於保證的最小值，但絕不會更小。它也解釋了一個令新手困惑的現象：一個看似完全平滑的實函數的級數，可能因為一個躲在複平面裡的奇點而突然停止收斂，那奇點在實線上看不見，卻牢牢掌控著收斂半徑。
對勒讓德方程 (1 - x^2) y'' - 2x y' + l(l+1) y = 0 在 x0 = 0 展開，奇點為 x = 1 與 x = -1，各距 1。故級數解保證至少在 |x| < 1 收斂，即球的兩極之間的開區間。
到最近奇點的距離（在複平面上）給出保證半徑，此處為 1，即 0 到 x = +-1 的間距。
最近的奇點可能是複數，完全不在實軸上；半徑是複平面上的直線距離，這正是為何一個實數級數會在實軸上毫無徵兆地停止收斂。
又稱
另見