遞迴關係（recurrence relation）
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當你把一個冪級數代入微分方程並收攏各項時，係數並不會一次全部交到你手上。你得到的反而是一條把它們連繫起來的規則，一個用較早的係數表示每個新係數的公式。那條規則就是遞迴關係，它是真正逐個係數生成級數解的引擎，像一列骨牌，只要你推倒頭一兩張，其餘便接連倒下。
具體說，把 y = a_n x^n 之和代入、並令每個 x 冪次的係數為零之後，你通常會得到像 a_(n+2) = -a_n / ((n+2)(n+1))（對所有 n >= 0）這樣的東西。把它讀作一份食譜：自由選定起始值 a_0 與 a_1（它們是二階方程的兩個任意常數），然後轉動曲柄，a_2 由 a_0 來，a_3 由 a_1 來，a_4 由 a_2 來，如此無止境地進行。一個兩項遞迴（把 a_(n+2) 連到 a_n）把級數俐落地分成由 a_0 建起的偶冪解，與由 a_1 建起的奇冪解；較長的遞迴混入更多項，但運作方式相同。
方程的個性就住在遞迴裡：它的確切形式決定了係數的規律、級數是否會終止成一個多項式（如某些特殊值給出勒讓德或埃爾米特多項式時），以及最終級數加總成什麼函數。實務上，解這個微分方程就是解它的遞迴，一旦你有了 a_n 的閉式或清楚規律，就有了解。
代入 y'' + y = 0 得 a_(n+2) = -a_n/((n+2)(n+1))。從 a_0 出發：a_2 = -a_0/2!、a_4 = a_0/4!、...，重現 cos(x)。從 a_1 出發：a_3 = -a_1/3!、a_5 = a_1/5!、...，重現 sin(x)。兩個自由常數 a_0、a_1 給出兩個獨立解。
兩項遞迴把相隔兩格的係數耦合起來，把解分成偶級數與奇級數，此處恰為 cos 與 sin。
只把 a_(n+2) 連到 a_n 的遞迴格外乾淨；許多方程給出三項遞迴，混入 a_(n+2)、a_(n+1)、a_n，雖仍管用卻難有簡單閉式。