粒子數算符

粒子數算符通常記作 N，由先作用湮滅算符、再作用產生算符依次構成。它的職責很簡單，就是計數：作用在含 n 個量子的態上，它原樣返回這個態，並乘上整數 n。從這個意義上說，它讀出的是一個態位於能階階梯往上的第幾級。

由於它是產生算符乘以湮滅算符，粒子數算符是厄米的，因而是一個貨真價實的可觀測量，其本徵值為非負整數。這是一個深刻的結果：正是階梯算符的代數迫使這一計數只能取整數，這便是為何振子中的能量、場中的粒子，都以離散的整份出現，而非連續的份額。

振子的哈密頓量不過是粒子數算符乘以 ℏω 再加上那個常數的零點項，所以測量能量與清點量子在本質上是同一次測量。在量子場論裡，粒子數算符清點有多少光子、聲子或其他粒子佔據著某個給定模式，從而成為連接場的波動圖景與其量子的粒子圖景之間的橋樑。