射影圓錐曲線（projective conic）
在尋常幾何中，橢圓、拋物線、雙曲線看似三條不同的曲線——一條封閉、一條單支開放、一條兩支奔向無窮。射影幾何帶來出奇的統一：在射影平面中，這些全是「同一種」對象，一個稱為圓錐曲線的單一形狀。表面的差異只是各曲線恰好在何處穿過無窮遠線的偶然，而射影變換能隨意移動那條線。
有兩種等價的方式釘住射影圓錐曲線。代數方式：圓錐曲線是滿足一個齊次二次方程式 a x^2 + b y^2 + c z^2 + d x y + e x z + f y z = 0 的點 (x : y : z) 之集合。熟悉的三者，由與無窮遠線 z = 0 相交而分出——橢圓不與之相交（無實無窮遠點），拋物線與之相切（一個重點，在那裡相切），雙曲線與之交兩次（其兩個漸近方向）。綜合方式，出自史坦納（Jakob Steiner），完全不用座標：取兩個相異點，並在過它們的線束之間取一個射影對應（保交比的對應）；對應線相交之處所描出的，恰好是一條圓錐曲線。這種「射影生成」正是圓錐曲線一如直線、完全受接合與交比支配的深層理由。
射影觀點之所以重要，在於它讓一套理論做三套的工，並揭露度量圖像所掩藏的對稱——極點極線對偶、過五點的圓錐曲線、帕斯卡定理皆居於此。兩點誠實的提醒。其一，在射影上非退化圓錐曲線只有一種；「橢圓對雙曲線」是度量或仿射的區分，唯有在挑出一條無窮遠線後才恢復，並非射影的區分。其二，圓錐曲線可退化——若其定義二次式可分解，「圓錐曲線」便塌成一對線（或一條重線）；這些退化情形正是帕斯卡定理化為帕普斯定理之處。
方程式 x^2 + y^2 - z^2 = 0 是一條射影圓錐曲線。令 z = 1，它讀作 x^2 + y^2 = 1，即單位圓（橢圓型曲線）。令 z = 0（無窮遠線），它讀作 x^2 + y^2 = 0，無實解——故圓永不抵達無窮，正是橢圓的射影標誌。改換座標使曲線兩次穿過 z = 0，同一條圓錐曲線如今看來就像雙曲線。
橢圓、拋物線、雙曲線是同一條射影圓錐曲線；其差別只在於它們如何與無窮遠線相交。
在射影上非退化圓錐曲線只有一種——橢圓／拋物線／雙曲線之分是仿射的，由曲線如何與所選無窮遠線相交決定，並非射影的。史坦納的線束射影對應定義與二次方程式定義等價，但要小心：退化的射影對應給出退化的「圓錐曲線」（線對），而非真正的曲線。