帕普斯定理（Pappus' theorem）
/ PAP-us /
畫兩條直線，在每條線上隨意撒三個點。如今把它們交叉相連、繞成 Z 字形，做出一條六角的路徑——一個「六邊形」，其頂點在兩條線上交替出現。帕普斯定理揭示這隨意圖畫中暗藏的秩序：六邊形對邊互相相交的三個點本身共線。從兩條任意的線與六個自由選取的點，竟自行湧出一條筆直的線。
精確地說。設 A、B、C 在一條線上，A'、B'、C' 在另一條線上。作交叉連線並取三個交點：P =（線 AB' 與線 A'B 之交）、Q =（線 AC' 與線 A'C 之交）、R =（線 BC' 與線 B'C 之交）。帕普斯定理說 P、Q、R 共線——它們都落在一條線上，稱為此圖形的帕普斯線。此結果純關乎接合，故不需任何度量；在射影平面中它無例外地成立，含平行情形（一個「失蹤」的交點只不過落在無窮遠線上）。
帕普斯（亞歷山卓的帕普斯，約西元 320 年）比這門正式學科早了一千多年，卻是射影幾何最深刻的事實之一。它也是自對偶的——對調點與線後得回同一定理。兩點誠實的說明。其一，帕普斯嚴格強於笛沙格：在公理理論中，帕普斯定理蘊含笛沙格定理，反之不然，而一個射影平面滿足帕普斯，恰當其底層座標系是交換體（故帕普斯暗中編碼了乘法的交換律）。其二，它是一個遠為宏大的陳述——帕斯卡關於圓錐曲線內接六邊形的定理——的退化（線對）情形：當圓錐曲線裂成兩條直線時，帕斯卡就化為帕普斯。
在線 1 標 A、B、C；在線 2 標 A'、B'、C'。畫 AB' 與 A'B，標其交點 P；畫 AC' 與 A'C，交於 Q；畫 BC' 與 B'C，交於 R。把直尺貼在 P 與 Q 上——它必也恰好通過 R。這三個交點每一次都共線。
兩條線上的六個點交叉相連：三個對邊交點總是排成一直線。
帕普斯是帕斯卡定理在圓錐曲線退化為兩條線時的情形，且邏輯上強於笛沙格定理（帕普斯蘊含笛沙格，反之不成立）。它的成立等價於座標體可交換——一個藏在點與直尺圖畫中、出人意料地深刻的代數事實。