笛沙格定理（Desargues' theorem）
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若兩個三角形對應頂點的三條連線都通過一個公共點，就說這兩個三角形對該點透視——想像一盞燈投下兩個三角形影子，對應頂點沿著從燈泡射出的光線一一對齊。笛沙格定理說，圖形的另一側便會發生一件出奇的事：三對對應邊延長後，相交於三個共線的點——它們都落在一條直線上。對點透視，逼出對線透視。
精確地說。設三角形 ABC 與 A'B'C' 滿足：線 AA'、BB'、CC' 都通過同一點 O（透視中心）。考慮三對對應邊：BC 與 B'C'、CA 與 C'A'、AB 與 A'B'。每一對延長後交於一點——記為 P、Q、R。笛沙格定理斷言 P、Q、R 共線；過它們的線稱為透視軸。逆定理也成立：若三對對應邊交於三個共線的點，則三條頂點連線共點。在射影平面中沒有例外要迴避——若某兩條對應邊剛好「平行」，它們的交點只不過落在無窮遠線上，定理依然成立。
笛沙格定理（Girard Desargues，1639）是射影幾何的基石，也是對偶的完美範例：定理與其逆互為對偶，故此圖形是自對偶的——十點十線，每點在三線上、每線過三點。一個深刻而誠實的微妙之處：在平面中，笛沙格定理無法僅由接合公理證得（存在使它失效的奇異「非笛沙格平面」），但一旦把平面置入三維空間中它便自動成立——其自然證明把兩個三角形抬升到相交於透視軸的兩張不同平面上。一個平面事實在從空間俯視時最為乾淨，這是幾何中最可愛的一課。
把一張小三角形卡片傾斜地放在燈與牆之間，使其影子是另一個形狀不同的三角形。對三個角而言，燈、卡片的角、影子對應的角皆共線——這就是對燈透視。笛沙格保證：每條卡片邊所在的線與其影子邊所在的線相交處，三個交點排成一直線：對線透視。
對點透視（三條頂點線共點）逼出對線透視（三個邊交點共線）。
誠實的微妙處：笛沙格定理並非僅由平面接合公理推出——存在非笛沙格射影平面。它在每個能嵌入射影三維空間的射影平面中成立（特別是實平面），那裡最簡單的證明來自抬升到第三維。