過五點的圓錐曲線（conic through five points）

兩點決定一線；那要幾點才能決定一條圓錐曲線？答案是五——給出五個點（其中任三點不在同一條線上），就恰有一條圓錐曲線通過它們全部。這是圓錐曲線版的「兩點定一線」，也是射影幾何中構造與辨認圓錐曲線的基礎。

為何是五？一條圓錐曲線是含六個係數的齊次二次方程式 a x^2 + b y^2 + c z^2 + d x y + e x z + f y z = 0，但把它們同乘一個常數給出同一條曲線，故實際上有五個自由的比值要定。你要求圓錐曲線通過的每個點，都是對那些係數的一個線性條件。五個點給出五個未知數的五條線性方程式——一般而言恰好足以唯一決定圓錐曲線。還有一個純綜合的作法，透過帕斯卡定理（「神秘六邊形」）：給定五點，把它們當成六邊形的五個角，讓過其中一點的一條可變線扮演第六個角；帕斯卡的共線條件便僅用直尺，構造出你想要多少就有多少的圓錐曲線上的進一步點，不解任何方程式。

這個事實是圓錐曲線幾何的主力——它是如何由資料釘住一條圓錐曲線、史坦納射影定義如何產生一條具體曲線、以及圓錐曲線一如直線是根本上射影對象的理由。兩點誠實的限定。其一，「任三點不共線」這但書不可或缺：若五點中有三點共線，過它們的唯一「圓錐曲線」會退化成一對線而非光滑曲線，故一般性要緊。其二，五點決定圓錐曲線，但本身並不告訴你它的仿射類型——所得曲線讀作橢圓、拋物線或雙曲線，取決於它如何與無窮遠線相交，而僅五個有限點在你未一併固定那條線之前並不能確定它。