機率母函數（probability generating function）
假設一個隨機變數 X 在數某樣東西——十次拋擲中正面的次數、一小時內的顧客數、一年內的事故數。它的整個故事就藏在 P(X = 0)、P(X = 1)、P(X = 2)……這一串機率裡。隨身帶著一串無窮的清單很不方便。機率母函數把整串清單打包成一個簡潔的函數，變數 s 只是記帳用的掛勾，於是整個分布化為一個物件隨身攜帶。
對一個只取非負整數值的隨機變數 X，機率母函數是 G_X(s) = E[s^X] = 從 k=0 到 infinity 求和 P(X = k) 乘以 s^k。把這個和看成一排衣帽架：掛在 s^k 上的係數正好是 P(X = k)。於是 s^0 帶著 P(X = 0)，s^1 帶著 P(X = 1)，依此類推；變數 s 本身除了把機率固定在各自的位置外沒有別的意義。因為這些機率都介於 0 與 1 之間且加總為 1，這個級數對任何 |s| <= 1 的 s 都收斂，所以對這類計數變數而言機率母函數保證存在——不像動差母函數可能失效。
機率母函數之所以好用，是因為它把困難的運算變簡單。兩個獨立計數變數之和的機率母函數等於各自機率母函數的乘積，這就是你能輕鬆地把卜瓦松或二項相加的方法。而你存進去的一切都能取回：令 s = 1 得到 G_X(1) = 1（機率加總為一），微分後代入則能取回機率與動差。它是動差母函數與特徵函數的離散表親，專為計數變數而設。
對一枚公正硬幣，令 X = 正面次數（0 或 1），P(X=0) = P(X=1) = 1/2，則機率母函數為 G_X(s) = (1/2) + (1/2)s。對 X ~ 卜瓦松(lambda)，機率母函數收成漂亮的形式 G_X(s) = e^(lambda(s - 1))——一整串無窮的機率被摺進一個指數裡。
G_X(s) = E[s^X]：s^k 的係數正是 P(X = k)。
機率母函數只適用於取非負整數值的變數。對一般的連續變數，你要改用動差母函數，或是永遠存在的特徵函數。