卜瓦松分配（Poisson distribution）

卜瓦松分配計數一個罕見而零星的事件在固定的時間、空間或機會窗口內發生幾次，前提是這些事件以穩定的平均速率獨立發生。一小時內收到幾封郵件？一頁有幾個錯字？每分鐘幾輛車經過感測器？每秒幾次放射性衰變？每種情形對計數都沒有天然的上限 n——原則上可以是 0、1、2 一路上去——整個分配由唯一的數字 lambda（每窗口的平均事件數）掌控。記作 X ~ Poisson(lambda)。

它的 pmf 是 P(X = k) = e^(-lambda) lambda^k / k!，k = 0, 1, 2, ...。e^(-lambda) 是歸一化常數，使機率總和為 1（它是 e^lambda 那個著名級數的反向運用），lambda^k 隨計數增長，而除以階乘 k! 馴服了這個增長。一個醒目又有用的事實是：均值與變異數是同一個數：E[X] = lambda、Var(X) = lambda。所以若你看到某筆計數資料的樣本均值與樣本變異數大致相等，卜瓦松模型是自然的第一猜想；若變異數大得多（過度離散），就改用負二項。

兩個故事為卜瓦松撐腰。作為極限，它是二項在試驗數 n 巨大、每次成功機率 p 微小、而保持乘積 np = lambda 固定時所變成的東西——罕見事件法則。作為過程，它是卜瓦松過程中到達次數的計數，那裡事件以速率 lambda 在時間上獨立而均勻地落下。兩幅圖像都解釋了它為何從排隊、保險理賠到遺傳學與天文學處處出現。