二項到卜瓦松的極限（binomial-to-Poisson limit）
/ pwah-SON /
這是把二項與卜瓦松綁在一起的精確數學陳述——既是罕見事件法則、也是卜瓦松近似底下嚴謹的脊樑。它說：取一列二項分配，其中試驗數 n 邁向無窮，而成功機率 p 縮向零，安排得使乘積 np 釘在固定值 lambda。那麼二項 pmf 會逐項收斂到參數為 lambda 的卜瓦松 pmf。
你可以從代數中看著它發生。把二項機率寫成 C(n, k) p^k (1 - p)^(n-k)，代入 p = lambda/n。組合因子 C(n, k) 除以 n^k 在 n 增大時趨於 1/k!（乘積 n(n-1)...(n-k+1) 約為 n^k）。lambda^k 這一項不動。而存活因子 (1 - lambda/n)^(n-k) 趨於 e^(-lambda)，用的是經典極限 (1 - x/n)^n 趨近 e^(-x)。把三個極限片段相乘，恰好落在 e^(-lambda) lambda^k / k!，即卜瓦松 pmf。二項的兩個參數已融為一個：只有它們的乘積 lambda 存活。
為何它值得在近似之外另立名稱？因為作為極限定理，它是中央極限定理的離散事件類比，並解釋了關於世界的一個結構性事實：每當一個計數源自極多次幾乎獨立、且各自可忽略的機會時，卜瓦松就會出現，無論細節如何。這是普適性的一個小範例。誠實的界線一如既往——試驗必須維持獨立且總速率固定；群聚或會傳染的事件落在定理的觸及範圍之外。
Binomial(1000, 0.003) 有 lambda = np = 3。其 P(X = 2) 為 0.2244...，而 Poisson(3) 給出 e^(-3) 3^2 / 2! = 0.2240。兩者已吻合到小數點後三位。
n 趨無窮、p 趨 0、np = lambda 固定：兩個參數融為單一速率。
此極限需要在 p 縮小的同時保持 np 固定。它是中央極限定理的離散表親（計數的普適性），但仍假設試驗獨立且速率穩定。