正定函數（positive-definite function）

正定性正是博赫納定理所提煉出、作為特徵函數標記的精確分析條件。它也是遍布機率與分析的正定核（共變異函數、再生核）在差分型下的特例。理解它能讓特徵函數方法顯得理所當然，而非神秘。

R^d 上的複值函數 phi 稱為正定，若對任意 n、任意點 t_1, ..., t_n in R^d、任意複數 c_1, ..., c_n，和 sum_{j,k=1}^n c_j conj(c_k) phi(t_j - t_k) 皆為實數且非負。由定義立得三個推論：phi(0) >= 0（取 n=1）；對所有 t 有 |phi(t)| <= phi(0)；以及 phi(-t) = conj(phi(t))，故 phi 為厄米。注意此函數只依賴於差 t_j - t_k，這正是正定函數有別於一般正定核 K(s,t) 之處；一個平穩共變異函數 K(s,t) = phi(s-t) 經適當縮放後恰是一個正定函數。

正定函數之所以重要，在於它連接三個世界：正測度的傅立葉變換（博赫納）、機率律的特徵函數（當 phi(0)=1 且連續時）、以及平穩過程的共變異結構。一個實用警語：正定函數之積仍正定（對應獨立和的特徵函數），正定函數的逐點極限仍正定，但逐點極限未必在 0 處連續——而這種連續性的喪失，恰恰是一列分布把質量漏到無窮遠、無法收斂的失效模式。