特徵函數的動差與導數（moments and derivatives of the characteristic function）

特徵函數是一種動差生成裝置，且不同於動差生成函數 E[e^(tX)]，它永遠存在。X 的動差與 phi 在原點的導數之間的精確聯繫，正是驅動中央極限定理及其精細修正之特徵函數證明的微積分；問題在於特徵函數在 t=0 附近究竟編碼了多少動差資訊。

若 E[|X|^k] < infinity，則 phi(t) = E[e^(itX)] 為 k 次連續可微，且可在期望內微分：phi^(j)(t) = E[(iX)^j e^(itX)]，故在原點 phi^(j)(0) = i^j E[X^j]，j = 0, 1, ..., k。由此得 0 處的泰勒展開 phi(t) = sum_{j=0}^{k} (it)^j E[X^j]/j! + o(t^k)，這是每個特徵函數型極限定理的引擎：對均值 0、變異數 sigma^2 的變數，phi(t) = 1 - sigma^2 t^2/2 + o(t^2)，縮放後取 n 次方即得高斯極限。反向更微妙且依階數而定：有限的偶階導數 phi^(2m)(0) 確實蘊涵 E[X^(2m)] < infinity，但奇階導數 phi^(2m+1)(0) 的存在並不迫使 E[|X|^(2m+1)] < infinity。

此對應之所以重要，在於它把動差假設化為 phi 在 0 附近乾淨的多項式展開，你只需代入並取冪。偶階與奇階之間的不對稱是誠實的微妙處：這正是中央極限定理陳述通常以偶階動差（變異數）表述的原因，也是貝里—埃森速率需要三階絕對動差 E[|X|^3]、而非三階動差本身的原因。另須注意特徵函數僅在 0 處局部編碼動差；phi 在遠離 0 處的整體光滑性反映密度的光滑性，那是另一回事（光滑性—尾部對偶）。