博赫納定理（Bochner's theorem）
/ BOKH-ner /
特徵函數（characteristic function, cf）phi(t) = E[e^(i t X)] 把實數線上的機率分布轉化為頻率變數 t 的單一有界函數。傅立葉分析機率論的根本問題是：哪些函數 phi 才是某個機率測度的特徵函數？博赫納定理給出了精確答案，它正是李維連續性定理與整套特徵函數方法背後的結構支柱。
博赫納定理說：R^d 上一個連續函數 phi（且 phi(0) = 1）是某機率測度的特徵函數，當且僅當 phi 為正定（positive-definite）。所謂正定是指：對任意有限頻率組 t_1, ..., t_n 與任意複數 c_1, ..., c_n，厄米和 sum_{j,k} c_j conj(c_k) phi(t_j - t_k) >= 0；等價地說，以 phi(t_j - t_k) 為元素的矩陣是半正定的。「必要性」是快速計算：代入 phi(t) = E[e^(i t X)]，此和變為 E[ |sum_j c_j e^(i t_j X)|^2 ] >= 0。「充分性」才是深刻之處：正定加上原點處的連續性，透過傅立葉反演迫使一個（非負、總質量為 1 的）測度存在。
博赫納定理之所以重要，在於它把一條分析性質（正定性，紙上可驗）轉換成機率存在性陳述，也是特徵函數論證能奏效的抽象理由。它的推廣遠超 R^d：在局部緊緻阿貝爾群上，正定函數恰好是對偶群上有限正測度的傅立葉變換，這正是平穩過程譜理論的基礎。一個誠實的警語：原點處的連續性不可或缺。一個函數可能逐點滿足正定條件，卻因在 0 處不連續而不是特徵函數；正是 0 處的連續性保證候選測度的總質量為 1，而非把質量漏到無窮遠。
函數 phi(t) = e^(-|t|) 連續、在 0 處等於 1、且為正定，故由博赫納定理它必是某特徵函數——事實上它正是標準柯西分布的特徵函數。相對地，phi(t) = cos(t^2) 在 0 處為 1 且連續，但並非正定（可找到頻率 t_j 使厄米和為負），故沒有任何隨機變數以它為特徵函數。
使一個函數成為特徵函數的是正定性，而非僅僅有界或 phi(0)=1。
常見錯誤是以為任何連續、phi(0)=1 且 |phi|<=1 的函數就是特徵函數；其實還必須正定，且若放棄 0 處連續性，總質量會逃逸到無窮遠。