再生核希爾伯特空間（reproducing kernel Hilbert space）

每個共變異數函數內部都暗藏一個函數的希爾伯特空間——K 的再生核希爾伯特空間（RKHS）。這個空間是「容許把高斯過程沿其平移的方向」的正確概念，也是卡梅倫-馬丁定理、高斯大偏差、以及機器學習中核方法背後的代數骨架。它把解析對象 K(s, t) 轉化為函數的幾何。

具體地，從核函數 K_t := K(., t) 出發，對每個指標 t 各一個。定義內積，規定 < K_s, K_t > = K(s, t)，對有限組合 sum a_i K_(t_i) 線性延拓，再完備化得到希爾伯特空間 H_K。由構造，核「再生」求值：對任意 f in H_K，< f, K_t > = f(t)。這唯一的「再生性質」正是此空間得名之由。等價地（Moore-Aronszajn 定理），每個對稱半正定的 K 決定「唯一」一個以它為再生核的 RKHS，反之亦然。範數 ||f||_(H_K) 度量 f 與核幾何「對齊」的程度；範數大的函數被懲罰，這正是統計中的光滑性／正則化故事。

重要性：共變異數的 RKHS 在等距意義下就是相應高斯測度的卡梅倫-馬丁空間——使分布律只被重新加權、絕不被摧毀的容許平移集合。關鍵在於，RKHS 遠「小於」過程所棲居的空間：對 [0, 1] 上的布朗運動，RKHS 由滿足 h(0) = 0 且 h'(t)^2 dt 之積分有限的絕對連續函數 h 組成（範數 = h' 的 L^2 範數），而布朗路徑本身處處不可微，落在自己 RKHS 中的機率為「零」。這個「過程從不造訪自己的卡梅倫-馬丁空間」的弔詭是根本性的，並非缺陷。