極分解

每個非零複數都能分解為 z = r e^{i theta}：一個非負的模 r 與一個純旋轉 e^{i theta}。極分解正是它在矩陣上的精確類比。任意方陣 A 都可分解為 A = U P，其中 U 么正（旋轉部分），P 半正定（拉伸部分）。矩陣扮演 z，U 扮演 e^{i theta}，P 扮演 r。

拉伸因子很具體：P = sqrt(A^* A)，即唯一的半正定平方根，它度量 A 在各個方向上的縮放程度。當 A 可逆時 U = A P^-1，是一個不含自身拉伸的真正旋轉/反射。於是這一分解把 A 的作用乾淨地拆為先形變後旋轉。

它與 SVD 直接相連。若 A = W Sigma V^* 是 SVD，則 P = V Sigma V^* 而 U = W V^*，所以極分解與 SVD 是同一底層幾何的兩種讀法。奇異值就是拉伸 P 的特徵值，也就是 A 沿其主軸拉伸的倍數。

為何在意：在每一種么正不變範數下，U 都是離 A 最近的么正矩陣，這使極因子成為以下場景的正確工具——當你必須把一個略微偏離么正性的矩陣重新正交化時，如圖形學、機器人學或分子動力學中重新正交化一個旋轉。它還是連續介質力學的基礎，其中 P 是拉伸張量，U 是形變的旋轉。