柯西－尤拉方程（Cauchy-Euler equation）
/ koh-SHEE OY-ler /
到目前為止幾乎所有漂亮的方法都需要常係數。但有一個特殊的變係數方程同樣可解，而且它遍布物理與工程——凡是問題帶有自然的縮放對稱性之處，如點周圍的場或楔形中的應力。那個方程就是柯西－尤拉方程，它的標誌是：每個係數中 x 的次方，恰好等於它所乘的導數的階數。
標準形式下，（二階）柯西－尤拉方程為 a x^2 y'' + b x y' + c y = 0，其中 a、b、c 為常數。注意這個模式：x^2 配 y''，x^1 配 y'，x^0 配 y。n 階版本以同樣方式延續，a_n x^n y^(n) + ... + a_1 x y' + a_0 y = 0。這種精確的對應正是方程「等維」的緣由——它在 x 被常數重新縮放下不變——也正因如此，冪 y = x^r 是正確的試解：對 x^r 微分再乘以相應次方的 x，重現 x^r 乘一個數，於是方程塌縮為一個關於 r 的代數（指標）方程。
柯西－尤拉方程之所以重要，是因為它們是你能以閉式求解的最簡單變係數方程，並自然地從極座標或球座標下的拉普拉斯方程、以及具尺度對稱性的問題中出現。兩個誠實的提醒。第一，點 x = 0 是奇異的——它是一個正則奇點——所以解通常陳述於 x > 0（或你改用 |x|）。第二，別過度推廣：把 x^2 換成 (x - 1)^2 等，經平移後仍有效，但若一個方程的係數次方與導數階數不對齊，它就根本不是柯西－尤拉方程，x^r 的技巧不適用。
在 x > 0 上解 x^2 y'' - 2x y' + 2y = 0。試 y = x^r 得 x^r 乘 r(r-1) - 2r + 2 = x^r 乘 (r^2 - 3r + 2) = 0，故 r^2 - 3r + 2 = 0，根為 r = 1 與 r = 2。通解為 y = c1 x + c2 x^2。
當 x 的次方與導數階數相符時，試解 y = x^r 把 ODE 化為關於 r 的代數方程。
指標方程 r(r-1) - ... 不只是 r^2 - ...：y'' 項貢獻 r(r-1)，因為把 x^r 微分兩次先帶下 r 再帶下 r-1——漏掉這個因子是柯西－尤拉方程的經典錯誤。