正則奇點（regular singular point）

在奇點當中有一種寬容的類型。在正則奇點處係數確實爆掉，所以它真的是奇點，但只是溫和地爆，慢到讓一個略加修改的級數仍然管用。這正是那條精確的分界線，決定弗羅貝尼烏斯法是否能救你（在正則奇點處能救）還是你陷入了更深的麻煩（非正則奇點）。

判斷的方法在此，而且是機械式的。把方程化為標準形式 y'' + P(x) y' + Q(x) y = 0，看一個奇點 x0。作出兩個量 (x - x0) P(x) 與 (x - x0)^2 Q(x)。若兩者在 x0 處皆解析，也就是 (x - x0) 這個因子足以抵消 P 的爆掉，而 (x - x0)^2 足以抵消 Q 的爆掉，那麼 x0 就是正則奇點。直覺是：P 爆掉的程度不得壞於 1/(x - x0)，Q 不得壞於 1/(x - x0)^2。貝索方程在 x = 0 處通過此測試：x 乘 (1/x) = 1，x^2 乘 (x^2 - nu^2)/x^2 = x^2 - nu^2，兩者都完全解析。

為何如此講究？因為在正則奇點處，解的樣子像 (x - x0)^r 乘以一個普通冪級數，其中 r 是一個可能為分數甚至為負的指數，由指標方程決定。那溫和的奇性恰好以前頭多出的那個冪 (x - x0)^r 顯現出來。認出正則奇點，就是放行去發動弗羅貝尼烏斯級數、而非平凡泰勒級數的綠燈。