溫和解（mild solution）
當初始資料粗糙到無法微分，或算子無界以致方程在 t = 0 處根本無法逐字成立時，你究竟該把「解」理解成什麼？半群觀點給出一個乾淨的答案：直接把杜阿梅積分公式本身宣告為解的定義。溫和解就是滿足常數變易公式的函數，就這樣——它不必可微，也不必在每個瞬間都落在算子的定義域裡。你放棄要求方程逐點成立，轉而要求那條積分恆等式成立。
精確地說，對 du/dt = -A u + F(u)、u(0) = u_0，其中 -A 生成半群 e^{-tA}，一個連續函數 u: [0, T] 映到 X，若對所有 t 屬於 [0, T] 都有 u(t) = e^{-tA} u_0 + integral from 0 to t of e^{-(t-s)A} F(u(s)) ds，則稱為溫和解。對照由強到弱的三種解的概念：古典解對 t 可微、每個 t 都落在 D(A) 中、並逐字滿足方程；強解幾乎處處可微且方程幾乎處處成立；溫和解則僅滿足那條積分公式。每個古典解都是溫和的，但溫和解可以正則得多——例如 u_0 僅僅連續、處處無導數。
為何要用最弱的概念？因為溫和解才是你真正能構造出來的。那條積分公式把問題化為不動點：定義映射 Phi(u)(t) = e^{-tA} u_0 + integral from 0 to t of e^{-(t-s)A} F(u(s)) ds，再尋找使 Phi(u) = u 的 u。在一段夠短的時間區間上 Phi 是壓縮（解析半群的平滑化馴服了 F），於是巴拿赫不動點定理把唯一的溫和解交給你——半線性拋物型方程的局部存在性，不必預設任何光滑度。拋物型正則性理論接著升級它：同樣的平滑化迫使溫和解在 t > 0 時變成古典解。
對反應擴散方程 u_t = Laplacian u + u^2，初始資料 u_0 僅連續時，你先用迭代 u_{n+1}(t) = e^{t Laplacian} u_0 + integral from 0 to t of e^{(t-s) Laplacian} u_n(s)^2 ds 構造一個溫和解。此迭代在一小段區間上收斂。接著拋物型平滑化表明這個溫和的 u 其實在 t > 0 時光滑，並古典地解了該偏微分方程。
用不動點建構溫和解，再讓拋物型平滑化使它變為古典解。
溫和解光是存在，並不保證它唯一或整體——對半線性拋物型方程而言，溫和解即便起初一切正常，也可能在有限時間內爆破（想想 u_t = Laplacian u + u^2）。作為溫和解的存在性是一個局部陳述；它是否延續、是否保持有界、或是否爆破，則是能量法與比較法所要處理的另一個問題。