杜阿梅公式（Duhamel's formula）
/ doo-ah-MELL /
假設你的演化方程帶有一個外加項——熱量正被某個源源不斷地加入，而不只是從一個初始剖面任其擴散。杜阿梅的想法美得簡單：把源頭看成一連串微小的瞬時「敲擊」，讓每一下敲擊從它被送出的那一刻起各自演化，再把它們所有的貢獻加總起來。時刻 t 的總反應，就是對所有更早時刻 s 的「在 s 送出的那下敲擊、再往前傳播剩下的時間 t - s」之總和（積分）。這正是你在線性常微分方程中見過的常數變易想法，被提升到半群框架中。
具體來說，對非齊次抽象柯西問題 du/dt = -A u + f(t)、u(0) = u_0，其中 -A 生成半群 e^{-tA}，杜阿梅公式為：u(t) = e^{-tA} u_0 + integral from 0 to t of e^{-(t-s)A} f(s) ds。逐字解讀這兩塊：e^{-tA} u_0 是初始資料的自由演化（齊次解），而那個積分把源頭疊加起來——在每個過去的瞬間 s，輸入 f(s) 被注入，然後由半群在已過去的時間 t - s 上往前承載。由此公式（而非「可微且逐點滿足方程」）所定義的解，稱為弱意義解／溫和解（mild solution），而杜阿梅公式正是它的定義。
它真正的威力顯現在非線性（半線性）方程 du/dt = -A u + F(u) 上。你無法徒手解這些方程，但你可以把它們改寫成不動點方程 u(t) = e^{-tA} u_0 + integral from 0 to t of e^{-(t-s)A} F(u(s)) ds，再用壓縮映射求解：餵入一個 u 的猜測、算出右端、重複。當半群是解析的時，它的平滑化估計與對導數的控制，使這個積分算子在一小段時間區間上成為壓縮，從而給出局部存在與唯一性——這是反應擴散方程及許多其他拋物型模型通往局部適定性的標準路徑。
對帶源頭的熱方程 u_t = Laplacian u + f(x, t)、u(., 0) = u_0，杜阿梅給出 u(t) = e^{t Laplacian} u_0 + integral from 0 to t of e^{(t-s) Laplacian} f(s) ds。具體而言每一塊都是對熱核的卷積：自由部分把 u_0 在時間 t 上模糊，外加部分則把每個 f(., s) 在較短的剩餘時間 t - s 上模糊並積分。
受迫解 = 資料的自由演化 + 累積且傳播過的源頭。
杜阿梅公式作為積分總是有意義的，但它產生的溫和解未必是古典（可微）解，除非資料與外加項夠正則——溫和性確實較弱，而要橋接回古典解需要額外的光滑度，這對拋物型問題而言，正好由解析半群的平滑化便利地提供。