線法（method of lines）

一個含時的偏微分方程把兩種導數糾纏在一起——空間導數與一個時間導數——同時離散兩者（如 FTCS 那樣）可能令人困惑且僵硬。線法是一種乾淨的分而治之策略：「只」離散空間導數，讓時間保持連續，這把單一的偏微分方程變成一個大的時間常微分方程組——每個空間格點一條常微分方程。接著把這個常微分方程組交給任何你喜歡的好用常微分方程求解器。這個名字描繪的是：隨時間流逝，解沿著穿過每個格點的鉛直「直線」演化。

看它在熱方程 u_t = k u_xx 上運作。只把空間二階導數換成它的中央差分，讓時間導數原封不動：在格點 i 得到 du_i/dt = (k/h^2)(u_{i+1} - 2 u_i + u_{i-1})。對每個內部格點都這麼做，你便有一個耦合的常微分方程組，緊湊地寫成 dU/dt = A U，其中 U 是所有格點值的向量、A 是離散的空間算子（類剛度矩陣）。這如今是個標準的初值常微分方程問題——而你可自由地用任何合適的時間步進器積分它：前向尤拉（重現 FTCS 及其穩定性上限）、後向尤拉或梯形法（給出隱式、無條件穩定的格式），或高階的龍格-庫塔法。把空間與時間分開，讓你能為兩者各自挑選並搭配最佳的離散。

線法是多數現代偏微分方程軟體的概念支柱：它乾淨地把空間離散（有限差分、有限元素或譜方法）與時間積分分開，於是你能為時間推進這一困難部分重用一個成熟、自適應、誤差受控的常微分方程函式庫。它也讓偏微分方程穩定性與常微分方程剛性之間的聯繫變得鮮明——空間算子 A 的特徵值通常分布極廣（細網格上高空間頻率對應極負的值），使常微分方程組「剛性」十足，這正是顯式時間步進器要求微小步長（CFL 的故事）、而隱式者值回票價的原因。主要的提醒：此法天然契合時間演化（拋物型、雙曲型）問題，對沒有時間方向可推進的純橢圓型、穩態問題則較不直接適用。