梅林變換
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傅立葉變換是圍繞平移建立的：它回答你把一個函數沿軸滑動時會發生什麼，並把平移變成相位。但有些問題關乎的是縮放而非滑動——關乎放大和縮小，關乎在零附近與在無窮附近的行為。梅林變換之於縮放，正如傅立葉變換之於平移；它把拉伸一個函數的操作變成乘法，是冪律行為的天然語言。
f(x) 的梅林變換是 F(s) = 從 0 到無窮的 f(x) x^{s minus 1} dx，其中 s 是複數。核 x^{s minus 1} 是 x 的一個冪，而冪正是縮放的本徵函數：把 x 換成一個常數乘以 x，只會提出一個冪，所以對輸入的縮放就變成輸出上的一個簡單因子。它有一層近親關係：代換 x = e^{minus t} 把梅林變換變成雙邊拉普拉斯變換，再轉一次又把它與傅立葉變換聯繫起來——三者是同一台機器，分別從加性（傅立葉、拉普拉斯）與乘性（梅林）坐標看過去。該變換存在於複 s 平面上的一條豎直帶內，相當於收斂域，由 f 在 0 處與無窮處的行為確定。
它的長處恰好在縮放當家的地方。它是 gamma 函數背後的變換（e^{minus x} 的梅林變換正是 Gamma(s)）和黎曼 zeta 函數背後的變換，是提取一個積分在參數趨於 0 或無窮時的漸近展開的標準工具（梅林-巴恩斯積分，而 F(s) 的留數讀出漸近項），也是求解具有標度不變的歐拉-柯西結構的微分方程的恰當變換。在應用中，它出現在算法分析、具有冪律或自相似行為的問題，以及通過關於 s 的解析延拓對某些看似發散的級數求和之中。
e^{minus x} 的梅林變換是 從 0 到無窮的 e^{minus x} x^{s minus 1} dx = Gamma(s)——這個積分正是 gamma 函數的定義，所以 gamma 函數實際上就是一個梅林變換。
gamma 函數就是衰減指數的梅林變換——是標度變換核 x^{s-1} 最乾淨的例證。
梅林變換只活在它積分收斂的那條豎直帶上，這條帶由函數在 0 處和無窮處的增長確定；引用一個梅林變換卻不給出那條帶，就像引用一個拉普拉斯變換卻不給出它的收斂域一樣殘缺。