馬斯洛夫指標（Maslov index）
/ MAH-slov /
想像一個拉格朗日平面的迴圈——那些半維的「對 omega 盲目」子空間——連續地轉動，最終回到出發點。轉動時，它可以繞著所有這類平面的空間纏繞某個整數圈。馬斯洛夫指標就是那個整數纏繞數。它是辛幾何中閉曲線繞原點纏繞數的對應物，每當你把一個波或量子態沿古典軌跡推進時，它就作為拓樸修正項出現。
精確地說，因為拉格朗日格拉斯曼 Lambda(n) 的基本群為 pi_1(Lambda(n)) = Z，每個拉格朗日子空間的迴圈 gamma: S^1 -> Lambda(n) 都有良定義的同倫類，一個整數 mu(gamma) = [gamma] 屬於 Z。這個整數就是該迴圈的馬斯洛夫指標。在同一想法上建立了數個精化：拉格朗日路徑相對於固定參考拉格朗日的馬斯洛夫指標（計數移動平面與參考平面非平凡相交的「列車」處的有號穿越），以及辛流形 (M, omega) 中拉格朗日子流形 L 的馬斯洛夫類，這是 H^1(L; Z) 中的一個元素，由把切拉格朗日平面叢相對某選定背景平凡化而得。每個版本中，計數本質上都關乎拉格朗日平面如何旋轉。
為何重要：馬斯洛夫指標是固定半古典（WKB）近似中相位的整數，並為波耳-索末菲量子化提供著名的 +1/2 修正——這正是諧振子能階是 (n + 1/2) hbar omega 而非 n hbar omega 的原因。在現代辛拓樸中，它提供弗洛爾同調的分級，並控制帶拉格朗日邊界的擬全純曲線模空間的維數（預期的弗雷德霍姆指標）。一個常見混淆是把它當成拉格朗日的單一數字：相關對象取決於你量什麼——迴圈給整數、路徑給（某些慣例下可能是半整數的）相對指標、子流形給上同調類——所以務必指明指的是哪種馬斯洛夫指標。
對 (R^2, dp ^ dq) 中的諧振子，運動的一個週期把每條切線旋轉 360 度，所以切拉格朗日直線的迴圈（此處 Lambda(1) = S^1）恰好纏繞兩圈，給出馬斯洛夫指標 2。代入波耳-索末菲規則，這個馬斯洛夫 2 產生 +1/2 的零點位移，恢復精確的量子能階 E_n = (n + 1/2) hbar omega。
振子迴圈的馬斯洛夫指標為 2；這就是 (n + 1/2) hbar omega 中 +1/2 的來源。
沒有單一個「那個」馬斯洛夫指標——迴圈版、路徑相對版、子流形（上同調類）版都用這名字且各不相同。符號與正規化慣例在不同作者間也各異（有些以半整數權重計數穿越），所以要引明慣例。