標記卜瓦松過程（marked Poisson process）

有時每個事件不只是一個時刻，而是一個附帶標籤的時刻。經過感測器的車有速度；地震有規模；顧客有購買金額；落下的雨滴有大小。標記卜瓦松過程同時記錄到達時刻「與」標記，於是每個事件變成一對 (時刻, 標記)——一個被額外資訊裝飾的時間點。

形式上，先取一個由到達時刻構成的卜瓦松過程，再對每個到達獨立地附上一個從固定標記分配抽出的標記（標記可以是數字、類別或向量）。其定義性特徵是：給定時刻後，各標記彼此獨立、也與時序獨立。值得注意的推論是標記定理：這些 (時刻, 標記) 對所構成的集合，在「時刻乘以標記」這個更大的空間上構成一個卜瓦松過程。這把先前幾個想法統一為特例——若標記是「保留／丟棄」的硬幣，你還原成稀疏化；若標記是數值大小且你把標記加總，你還原成複合卜瓦松過程；若標記是位置，你得到一個空間模式。

標記是處理「各自攜帶資料的隨機事件」的靈活而一般的記帳工具。它讓你能問「規模大於 6 的地震的速率是多少？」（答案：以標記超過 6 的機率稀疏化過程）或「釋放的總能量是多少？」（答案：對標記求複合和）。和處處一樣的獨立性提醒成立：乾淨的卜瓦松結論需要標記與時序、以及彼此之間獨立——若大事件在時間上成團，簡單的標記卜瓦松模型就是錯的工具。