LU 分解（LU decomposition）

LU 分解把一個方陣 A 寫成乘積 A = L*U，其中 L 是下三角矩陣（對角線以上全為零），U 是上三角矩陣（對角線以下全為零）。它其實就是把高斯消元過程記錄下來：U 是消元後得到的階梯形，而 L 保存了你一路用到的那些乘數。

為什麼要記下來？因為對單個 b 解 A*x = b 並不難，但若要對許多不同的 b 反覆求解，每次都重做消元就太浪費了。一旦手上有了 L 和 U，每個新的 b 只需兩輪快速的三角形回代（先前代、再後代）即可解出，而不必再做完整消元。

為誠實起見有個小提醒：樸素的 LU 在某個主元為零或非常小時會出問題，所以實用軟體會加入換列操作（稱為帶部分主元的 LU，常寫作 P*A = L*U）。它是日常解方程背後的主力工具之一。