林德伯格—費勒定理（Lindeberg-Feller theorem）
/ LIN-de-berg FEL-er /
古典中央極限定理假設被加項既獨立又同分布。實際應用常違反「同分布」這部分：各項有不同的分布、變異數與尺度。林德伯格—費勒定理是針對獨立但不必同分布之被加項的決定性中央極限定理，並精確鎖定高斯極限成立的確切條件——不過強也不過弱。
用三角陣列佈置：對每個 n，X_{n,1}, ..., X_{n,r_n} 獨立、均值 0、變異數 sigma_{n,k}^2 之和為 s_n^2 = sum_k sigma_{n,k}^2。林德伯格條件為：對每個 epsilon > 0，(1/s_n^2) sum_k E[ X_{n,k}^2 ; |X_{n,k}| > epsilon s_n ] -> 0 當 n -> infinity。定理說：若陣列滿足林德伯格條件，則 (1/s_n) sum_k X_{n,k} 依分布收斂到 N(0,1)。費勒的逆命題使其尖銳：只要陣列一致漸近可忽略（無單項主導，即 max_k sigma_{n,k}^2/s_n^2 -> 0），林德伯格條件對中央極限定理與該可忽略性既充分又必要。林德伯格條件是一致的微小性要求：它說來自大值（超過 epsilon s_n）對總變異數的貢獻漸近可忽略——無單一被加項承載不消失的權重。
林德伯格—費勒定理之所以重要，在於它是迴歸殘差、加權和、m-相依序列（分塊後）與鞅差情境（其推廣）的工作中央極限定理。它在概念上也是決定性的：結合費勒逆命題，它顯示高斯極限本質上恰在無單項主導且個別項的大偏差一致可忽略時成立。誠實的警語：可忽略性假設不可放棄——若某被加項承載固定比例的變異數，極限是與該項分布的卷積，而非高斯。且林德伯格只給高斯極限；當陣列不滿足可忽略性或有重尾時，你又回到一般中央極限問題，極限可能是穩定或無窮可分。
取 X_{n,k} 獨立、在 [-k, k] 上均勻分布，k = 1, ..., n。變異數增長但標準化後無單項主導總和，可驗證林德伯格條件成立，故標準化和漸近常態。相對地，若某項佔固定比例的變異數（如一個固定尺度的伯努利），可忽略性失敗，極限非高斯。
林德伯格條件（尾部貢獻一致微小）+ 可忽略性 <=> 高斯極限，由費勒逆命題。
若無一致漸近可忽略性（無單項主導），極限未必高斯——主導項使極限成為與該項分布的卷積。