林德伯格條件與李雅普諾夫條件（Lindeberg and Lyapunov conditions）

當被加項獨立但不同分布時，你需要一個可驗證的假設來保證高斯極限。兩個是標準的：林德伯格條件（尖銳、充分且本質必要者）與李雅普諾夫條件（較簡單、較強、實務上較易驗證者）。理解它們的關係是精通非同分布和之中央極限定理的一部分。

用三角陣列佈置：獨立、均值 0 的 X_{n,k}，k=1,...,r_n，總變異數 s_n^2 = sum_k sigma_{n,k}^2。林德伯格條件為：對每個 epsilon > 0，(1/s_n^2) sum_k E[ X_{n,k}^2 ; |X_{n,k}| > epsilon s_n ] -> 0——來自大值的變異數貢獻一致消失。李雅普諾夫條件要求存在單一 delta > 0 使 (1/s_n^(2+delta)) sum_k E[ |X_{n,k}|^(2+delta) ] -> 0——控制略高於二階的絕對動差。關鍵關係：李雅普諾夫蘊涵林德伯格（在事件 |X_{n,k}| > epsilon s_n 上用動差界，其中 |X_{n,k}|^2 <= |X_{n,k}|^(2+delta)/(epsilon s_n)^delta），但反之不成立；林德伯格是較弱且確實較尖銳的假設。兩者皆給出 (1/s_n) sum_k X_{n,k} -> N(0,1)。

這些條件之所以重要，在於它們是進入林德伯格—費勒中央極限定理的實務入口：delta=1 的李雅普諾夫（三階動差界）是課本與應用中通常驗證的對象，因它是乾淨的動差估計，而林德伯格在三階動差無窮但截斷變異數條件仍成立時被援用。誠實的警語：李雅普諾夫嚴格更強，故一個和可滿足林德伯格（因而遵守中央極限定理）卻不滿足任何李雅普諾夫條件——別因李雅普諾夫失敗就斷定無中央極限定理。且兩條件都關乎個別項的可忽略性；它們預設高斯區制，當主導項或重尾把你推向穩定極限時無話可說。