林德伯格-費勒中央極限定理（the Lindeberg-Feller CLT）
/ LIN-de-berg FEL-er /
經典中央極限定理假設被加項同分布——每一項都從同一個律抽出。但真實的和常常混合不同的片段：大小不一的誤差、來自不同來源的貢獻。這樣一個由獨立但「非」同分布片段組成的和，何時仍能在極限上呈常態？林德伯格-費勒定理給出決定性的答案，用一個對被加項的彈性條件，取代僵硬的「同分布」假設。
用三角陣列來設定：對每個 n，你有獨立的項 X_{n,1}, ..., X_{n,n}，均值為 0，變異數加起來為 s_n^2。林德伯格條件要求：標準化後，沒有任何單一項從其大值貢獻出總變異數中不消失的份額：對每個 epsilon，當 n 增大時，對 k 求和 E[ X_{n,k}^2 * (|X_{n,k}| > epsilon*s_n 的指示) ] / s_n^2 趨近 0。白話說：每一片相對於整體都必須一致地小，於是鐘形是從許多旗鼓相當的貢獻中浮現，而非來自單一的主宰尖峰。若此條件成立，標準化的和依分布收斂到標準常態——不需要同分布假設。
費勒的貢獻讓它變得緊，這正是漂亮之處：在一個溫和的「無主宰項」一致小假設下，林德伯格條件不僅充分，更是常態極限的「必要」條件。所以這實質上是「獨立被加項何時聚合成鐘形」的完整刻畫。誠實的結論：常態恰好是極限，當且僅當沒有任何單一項獨佔變異數。若有一項主宰——它的變異數相對於總和不縮小——極限就可能非常態，CLT 的故事便破了。
把來自不同精度儀器的獨立量測相加：第 k 項是 Normal(0, sigma_k^2)，各 sigma_k 不同。只要沒有任何單一 sigma_k^2 一直佔著總和 s_n^2 的固定比例（沒有儀器主宰），林德伯格條件就成立，標準化的總和仍漸近於標準常態——片段大小不一，鐘形依舊。
非同分布的獨立片段仍給出常態極限——前提是沒有任何單一片段主宰變異數。
常態極限成立的充要情形是：沒有任何單一項主宰總變異數（林德伯格條件）。若有一項獨佔變異數，極限不必是常態。