收斂模式與極限定理
無有限變異數時 CLT 的失效
中央極限定理感覺近乎魔法——平均總會變成常態。但這份魔法有個寫進前提裡的代價：「有限」變異數。當一個分布的尾巴重到變異數為無窮（甚至連均值都不存在）時，咒語徹底失靈。柯西分配是教科書級的警世故事，而且它以你能想像得到的最戲劇化方式失效。
柯西分配有著溫和、鐘形般的密度 1/(pi(1 + x^2))，對稱而看似無害。然而它的尾巴衰減得太慢，以致定義均值的積分不收斂，變異數也是無窮。驚人的後果是：若 X_1, ..., X_n 是獨立同分布的柯西，它們的樣本平均 X-bar_n 本身「恰好」是同尺度的柯西——平均什麼也沒做。取一萬次抽取並平均，那個平均並不比單次抽取更集中。沒有 sqrt(n) 的縮小，沒有朝狹窄常態的進軍；平均的分布就這樣原地不動。
教訓誠實而重要：CLT 是一個帶前提的定理，不是自然律。有限變異數是守門人，而重尾資料（危機中的金融報酬、城市規模、網路流量）可以違反它，在那裡平均依舊狂野，「許多次的平均是可靠的」是假的。這類變數反而落入穩定分配的範疇，那是另一個極限家族。每當有人援引 CLT，正確的第一個問題是：這個量到底有沒有有限變異數？若沒有，鐘形可能永遠不會到來。
把 n = 10000 個獨立的標準柯西抽取平均起來。你期待平均會像常態那樣安定在某個中心附近——但它不會：X-bar_10000 又是標準柯西，有著同樣的肥尾、同樣可能出現狂野值，一如單次抽取。柯西資料的樣本平均根本不是個估計量。
把獨立同分布的柯西變數平均，得到「同樣」的柯西：不集中、無常態極限——CLT 的有限變異數前提是不可或缺的。
CLT 是帶前提的定理，不是自然律：它需要有限變異數。柯西既無有限變異數也無均值，其樣本平均仍是柯西——平均什麼也換不到。
又稱
另見