尾界（tail bound）
一個分布的大部分機率都坐落在它的中心附近，但有趣的風險住在尾部——那些遠處的值、罕見的大幅偏離。尾界是任何用來封頂「那裡能藏多少機率」的保證：對 P(X >= a)（上尾）、對 P(X <= a)（下尾）、或對 P(|X - 均值| >= a)（雙側尾）的上限。它以一個可證明的上界，回答「一個極端結果有多不可能？」。
「尾部」字面上就是分布超過某門檻的那一部分——密度曲線在 a 之外的面積，或所有那麼極端的值之機率總和。尾界用一個乾淨、保證更大、而你真的能用的表達式，取代往往無法計算的精確尾部機率。本領域的各種界形成一道由淺入深的銳利度階梯，逐步使用更多資訊：馬可夫只用均值，給出緩慢的 1/a 衰減；柴比雪夫加上變異數得到 1/a^2；柴諾夫、霍夫丁與伯恩斯坦則用動差母函數或有界性，交出像 e^(-c a^2) 這樣指數級微小的尾部。買進更多資訊，交付更緊的上限。
尾界是集中現象的實務面貌：當你需要一個有限樣本的保證時，引用的就是它——「以至少 0.99 的機率，誤差低於 epsilon」。在信心水準與區間之間互換，正是把一個尾界反解出來。兩個誠實的提醒。第一，一個界是單向的：它說尾部「不大於」某物，從不說它「就是」那麼大——一個鬆的界可能大幅高估真實風險。第二，正確的工具取決於你知道什麼：只有均值時你只能用馬可夫；輕尾時你可以宣稱指數衰減；重尾（變異數無窮）時，那些強的指數界根本不成立。
對一個均值 50、標準差 5 的變數，什麼界能限制 P(X >= 70)？馬可夫（只用均值，若 X >= 0）給出 <= 50/70 ≈ 0.71。柴比雪夫（用變異數）給出 P(|X - 50| >= 20) <= (5/20)^2 = 1/16 ≈ 0.0625。同一個尾部，上限緊得多，只因知道得更多。
對「極端處住著多少機率」的有保證上限——知道得愈多，界愈銳利。
尾界只是一個上限：它從不說尾部真的那麼大，而一個鬆的界可能嚴重高估真實風險。那些指數界也需要輕尾——對變異數無窮的分布會失效。