貝里-埃森定理（the Berry-Esseen theorem）
/ BERR-ee ess-AYN /
中央極限定理承諾標準化的和在極限上看起來像常態——但實際工作的科學家想要更多：在某個特定的、有限的 n 上，它「有多」接近常態？這個近似在 n = 30 時可信嗎，還是要到 n = 3000？貝里-埃森定理正好回答這個問題。它替真實分布與其常態近似之間的差距，釘上一個具體、可計算的數字。
精確地說：設 X_1, ..., X_n 獨立同分布，均值 mu、變異數 sigma^2，且第三絕對動差 rho = E[|X - mu|^3] 有限。令 F_n 為標準化和的 CDF，Phi 為標準常態 CDF。則兩者間最大的差異有界：對所有 x 取上確界 |F_n(x) - Phi(x)| <= C * rho / (sigma^3 * sqrt(n))，其中 C 是一個普適常數（已知低於約 0.47）。讀懂這訊息：誤差以 1/sqrt(n) 縮小——樣本變四倍，差距減半——而當資料更偏斜（rho 相對 sigma^3 大）時誤差更大。1/sqrt(n) 這個速率是頭條。
為什麼重要、又在哪裡咬人。貝里-埃森把 CLT 從一個極限承諾變成一份可用的誤差預算，支撐起誠實的信賴區間與樣本量選擇。兩個提醒讓你保持誠實。第一，它需要有限的「第三」動差，比 CLT 的有限變異數前提更多。第二，1/sqrt(n) 是對整個分布的最壞情況速率，往往偏悲觀——但它也警告：即使中央極佳，近似的尾端仍可能很差，所以常態近似在主體最可信，在遠尾最不可信。
對擲幣計數（n 次 Bernoulli(0.5) 之和）而言，貝里-埃森界約為 0.47/sqrt(n)：n = 30 時約 0.085，n = 300 時約 0.027。所以二項分配的常態近似穩定但緩慢地改善——資料多十倍，最壞情況誤差也只減少約三倍。
CLT 對常態的誤差以 1/sqrt(n) 縮小，並隨偏態增大——n 變四倍只把差距減半。
貝里-埃森需要有限的第三動差，比 CLT 更強。1/sqrt(n) 是對所有 x 的最壞情況速率，往往偏保守，尤其在分布主體處。