李定理（Lie's theorems）
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整個領域的宏大交易是一部字典：一邊是困難、彎曲、全域的李群，另一邊是容易、線性、有限維的李代數。李定理就是這部字典的規則——它們說明你能從李代數讀出李群的多少，以及翻譯在哪個方向上忠實。其口號是：在覆蓋與連通性之差別下，李群就是它的李代數。
通常稱為李三定理的三條定理建立了此對應（現代敘述部分歸功於卡坦）。(i) 每個李群 G 有李代數 g = T_e G，而李群同態 F: G -> H 誘導李代數同態 dF_e: g -> h；對「連通」的 G，此對應是函子性的，且在「F 由 dF_e 決定」的意義下忠實。(ii) 反之，每個李代數同態 phi: g -> h 都積分為李群同態 F: G -> H，前提是 G 連通「且」單連通。(iii) 李第三定理（存在性／卡坦定理）：每個有限維實李代數都是某個李群的李代數——事實上是唯一一個連通單連通者的。合起來看：有限維實李代數的範疇等價於連通單連通李群的範疇。任何以 g 為代數的連通李群，都是那個萬有單連通群 G~ 對某離散中心子群的商。
這些定理是你之所以能在 g 的線性世界計算再把答案搬到 G、之所以 su(2) ~ so(3) 卻使 SU(2) 為 SO(3) 的單連通覆蓋（對中心 {+-I} 取商）、以及單連通群的表示恰對應其李代數表示的原因。誠實的提醒恰是「連通」與「單連通」二詞。沒有單連通性，李代數映射未必（全域）積分，只局部成立；沒有連通性，李代數對額外的分量視而不見。此對應是在「代數」與「單連通群」之間；其餘一切都必須追蹤基本群與覆蓋。
李代數同構 su(2) ~ so(3) 並非來自群的同構：SU(2) 單連通（它是 S^3），而 SO(3) 不是（pi_1(SO(3)) = Z/2）。李定理說 SU(2) 是此代數的「那個」單連通群，而 SO(3) = SU(2)/{+-I} 是對中心取商——即著名的自旋二重覆蓋。
一個代數 su(2)~so(3)，兩個群：SU(2)（單連通）二對一覆蓋 SO(3)。
該等價是在李代數與「連通、單連通」群之間。捨棄單連通性，代數映射只能局部積分；捨棄連通性，代數看不見額外的分量。