卡坦閉子群定理（Cartan's closed-subgroup theorem）
/ kar-TAHN /
李群的一個子集，何時自動成為一個自身的李群，而無需手動施加光滑性？答案出奇地乾淨：僅僅在拓樸上閉就足夠了。你不必驗證該子群是流形、或運算是光滑的——單憑閉性就迫使一個唯一的光滑結構誕生。這是本領域中最省力的定理之一。
精確地說，卡坦閉子群定理（亦稱卡坦-馮諾依曼定理）斷言：若 H 是李群 G 的子群且作為子集為（拓樸）閉的，則 H 是嵌入李子群——G 的子流形，配子空間拓樸自身為李群，且包含映射是光滑嵌入。其證明顯示 H 的李代數為 h = {X in g : 對所有 t in R 有 exp(tX) in H}，它原來是線性子空間且為子代數，並且 exp 把 h 中 0 的鄰域微分同胚地映到 H 中 e 的鄰域，提供了座標卡。這正是典型矩陣群（O(n)、SL(n)、U(n)、Sp(n)、……）皆為李群的原因：每一個都是某 GL(n) 的閉子群，由 A^T A = I 或 det A = 1 之類的連續方程切出，故定理免費奉上流形結構。
此定理是辨認李子群、構造齊性空間 G/H（需 H 閉才能成流形）、並驗證穩定子與核為李子群的標準工具。關鍵的誠實要點是「閉」一詞：它不可省略。環面上的無理纏繞線是 T^2 的子群、是浸入李子群，但它稠密、不閉、不嵌入——故非閉子群可能不是嵌入子流形。閉性正是把抽象代數子群升級為真正光滑子流形的那個假設。
O(n) 是映射 A |-> A^T A - I 的零集，一個連續（實為多項式）條件，故是 GL(n, R) 的閉子集。卡坦定理立即把它升級為維數 n(n-1)/2 的嵌入李子群——無需另外驗證它是光滑流形。
由方程 A^T A = I 在 GL(n) 中為閉，故 O(n) 免費地是李群。
閉性是必要的，不能弱化為「子群」。二維環面中稠密的無理直線是一個「不閉」的子群，且僅浸入而非嵌入。