時間上的拉普拉斯轉換（Laplace transform in time）
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傅立葉轉換對空間變數完美無缺，因為空間通常跑遍整條直線。但時間不一樣：它從 t = 0（初始時刻）開始、只往前走，而我們手上通常拿到的是初始條件，而非 t = -infinity 處的行為。拉普拉斯轉換正是為時間這種單邊、初值的特性所打造的工具。傅立葉看見的是振盪，拉普拉斯還能看見增長與衰減，而這恰恰是瞬態擴散與電路問題的本質。
對定義在 t >= 0 上的函數 f(t)，其拉普拉斯轉換為 F(s) = integral from 0 to infinity of f(t) e^(-s t) dt，其中 s 是複變數。它決定性的性質是時間導數的規則：f'(t) 的轉換是 s F(s) 減 f(0)，f''(t) 的轉換是 s^2 F(s) 減 s f(0) 減 f'(0)。注意初值 f(0) 與 f'(0) 直接被吸收進代數裡——這正是拉普拉斯為何與初值問題如此天作之合。對一個偏微分方程在 t 上施用它，每個時間導數都變成 s 的乘冪，且初始資料已被烤入其中，留下一個關於 x、求 U(x, s) 的邊界值常微分方程。
所以配方是：在時間上取拉普拉斯轉換以消去 t 導數，解出所得到的空間常微分方程（此時 s 作為參數、初始條件已折疊其中），施加空間邊界條件，再從 s 反轉回 t。它也有自己的位移規則與卷積規則（s 中的乘積對應於時間中的卷積），是擴散問題以及傳輸線／電報員問題（訊號沿電纜傳播）的標準武器。誠實的代價在最後一步：反轉拉普拉斯轉換意味著計算 Bromwich 圍道積分，這可能才是整個問題裡困難的部分。
對 x >= 0 上的 u_t = k u_xx 配上 u(x,0) = 0 與一個被開啟的邊界 u(0,t) = 1：在 t 上取拉普拉斯轉換得 s U = k U_xx，一個關於 x 的常微分方程，其衰減解為 U(x,s) = (1/s) e^(-sqrt(s/k) x)。反轉（一個已知的轉換對）回傳 u(x,t) = erfc(x/sqrt(4 k t))。s 變數把空間常微分方程參數化；反轉則把時間帶回來。
時間上的拉普拉斯轉換把初始資料折進代數裡，留下一個空間中的邊界值常微分方程。
轉換積分只在 Re(s) 夠大（超過函數的增長率）時才收斂，所以 F(s) 其實活在某個右半平面上；反轉圍道必須畫在 F(s) 所有奇點的右側。