卷積定理（convolution theorem）

兩個看來毫不相干的運算，一旦你轉到頻率世界，原來竟是同一枚硬幣的兩面。在實體空間中，把一個函數透過另一個函數來混合——抹開、平均、濾波——靠的是卷積。在頻率空間中，這種雜亂的混合不過就是普通的乘法。卷積定理正是這座說出此事的橋樑，也是幾乎每一個由轉換得來的閉式偏微分方程解背後的引擎。

先說卷積是什麼：f 與 g 的卷積記為 (f * g)(x) = integral from -infinity to infinity of f(y) g(x - y) dy，它讓 g 滑過 f 並累積重疊量——這正是平滑核或平均核作用在資料上的方式。定理接著說：卷積的傅立葉轉換，等於兩個轉換的單純乘積：(f * g) 的轉換等於 f-hat(xi) 乘 g-hat(xi)。反過來，在實體空間中相乘兩個函數，對應於把它們的轉換做卷積。於是一個困難的積分，在你以頻率的眼光去看的瞬間，就塌縮成一個逐點的乘積。

這正是熱核出現的原因。用轉換解 u_t = k u_xx 會得到 u-hat(xi, t) = f-hat(xi) e^(-k*xi^2 t)——兩個轉換的乘積。依卷積定理，實體空間中的答案就是 u(x, t) = (f * G)(x, t)，即初始資料與 e^(-k*xi^2 t) 的逆轉換 G 做卷積，而 G 就是高斯熱核。同樣的把戲，能把任何常係數線性偏微分方程的解，建構成資料與該方程基本解的卷積。誠實的限制是：定義 f * g 的積分必須收斂，所以你仍需 f 與 g 合理地衰減，乾淨的敘述才成立。