克魯日科夫唯一性定理（Kruzhkov's uniqueness theorem）
/ KROOZH-kof /
守恆律理論曾有一道缺口：光滑解在震波處崩潰，弱解存在卻不唯一，而熵條件本應修補唯一性——但它真的做到了嗎？在任意空間維度、對任何合理的資料？克魯日科夫定理對單一純量律給出乾淨而完整的答案：是的，恰好存在一個熵解，且它對資料穩定地依賴。
對任意維度、有界可測初始資料的 u_t + div f(u) = 0，其陳述為：存在唯一的熵解，其中「熵解」意指 u 對每個常數 k，在分布意義下滿足克魯日科夫熵不等式族 |u - k|_t + div [ sign(u - k)(f(u) - f(k)) ] <= 0。克魯日科夫著名的證明技巧是「變數加倍」：把兩個熵解 u(x, t) 與 v(y, s) 視為獨立變數的函數來比較，對各自使用熵不等式、並以另一個的值作為常數 k，再相加。交叉項漂亮地相消，剩下的就是 L1 收縮估計：積分 |u(x,t) - v(x,t)| dx 隨時間不增。令 v = u 但資料平移，便顯示同一資料的兩個解必須重合——即唯一性——而來自不同資料的解則保持接近，給出穩定性。
它的重要性在於：這是純量守恆律理論的拱頂石。它把存在、唯一與連續依賴在每個維度、對僅僅有界的資料上奠定於嚴格的基礎，從而證實熵條件恰是正確的可容許準則。它所得到的 L1 收縮，也是證明數值格式收斂的天然穩定性框架。這結果誠實的邊界：它根本上是一個「純量」定理——對多個空間維度的守恆律系統而言，相應的全局存在與唯一理論至今仍付之闕如，是一個重大的開放問題。
取伯格斯方程的兩個熵解，初始資料分別為 u_0 與 v_0。克魯日科夫定理保證：對所有 t > 0，integral |u(x,t) - v(x,t)| dx <= integral |u_0(x) - v_0(x)| dx。特別地，若 u_0 = v_0，則 u = v 對所有時間成立：熵解唯一。少了熵不等式，這就失效了——許多弱解共享同一筆資料。
熵解在 L1 中收縮：兩個解之間的距離永不增長。
此定理是專屬於「純量」方程的勝利；切勿過度推廣。把單一方程換成系統會破壞比較／加倍論證（向量上沒有序），而多維守恆律系統的全局適定性至今仍是開放的。