純量守恆律（scalar conservation law）
想像單線道上的車流，或細導線中的熱，或河中的污染物。某個量在任何一段內既不被創造也不被消滅——它只是從一端流入、從另一端流出。純量守恆律正是對「一個」守恆量說出這件事的方程：任一區間內的量的變化率，等於流入減去流出。
把這筆帳化為微積分。設 u(x, t) 為密度、f(u) 為通量——單位時間內通過某點的量，寫成局部密度的函數。區間 [a, b] 內的總量是 u 的積分，其變化率等於 a 處流入減去 b 處流出：d/dt integral_a^b u dx = f(u(a,t)) - f(u(b,t))。把區間縮小並用微積分基本定理，就得到微分形式 u_t + f(u)_x = 0，即 u_t + f'(u) u_x = 0。這是一條單一的一階擬線性偏微分方程；特徵速度為 f'(u)，故 u 的每個高度以自己的速度行進。這一個特徵——速度依賴於高度——正是使非線性理論既豐富又困難的原因。
它出現在哪：交通流（Lighthill-Whitham-Richards 模型）、作為最簡單非線性模型的伯格斯方程、冰川與泥沙輸運、層析。關鍵而誠實的一點是：即使初始資料完全光滑，解仍可能在有限時間內發展出間斷（震波），因為快的部分超過了慢的部分。過了那一刻，微分方程在字面上不再成立；人們必須轉到弱（積分）解，這時還需要一個額外的熵條件來挑出物理上正確的那一個。
交通流：設 u 為車輛密度，假設通量 f(u) = u (1 - u)（稀疏時車跑得快，密集時塞車）。則 u_t + (1 - 2u) u_x = 0。特徵速度 1 - 2u 在車流稀少時為正、在車流擁擠時為負，故突然的塞車（震波）會逆著車流向後傳——這就是熟悉的、向上游移動的幽靈車波。
一個守恆密度、一個通量：整個非線性故事都編碼在 f 的形狀裡。
「純量」一詞意指一個方程對應一個未知量；單一守恆純量律的理解遠比守恆律系統來得透徹（克魯日科夫定理在任意維度給出熵解的全局存在與唯一）。對系統而言，多個空間維度下的相應全局理論至今大致仍是開放的。