積分（integral）

積分是把無窮多個極小的碎片加起來、得到一個整體的方法。想像一條曲線下方的面積——一個起伏不平、沒有簡單公式能套上的形狀。把它切成無數條薄如紙片的垂直長條，求出每一條的面積，再全部加起來。當長條越切越細，這個總和會收斂到一個確切的答案：這個答案就是積分。簡而言之，它度量的是「累積」——某樣東西堆積了多少。

這正是積分無處不在的原因。知道一輛車每一瞬間的速度，把速度積分起來，就得到走過的總路程。知道水流進水箱的速率，積分就給出蓄起來的總體積。只要一個量是從一個不斷變化的速率累積而成的，積分就是把它加總起來的工具。

最深刻的驚喜在於，積分恰好是導數的逆運算——導數度量的是某樣東西變化得有多快。這就是微積分基本定理：求導抵消積分，正如乘法抵消除法。一個常見的誤解是把積分僅僅當成「面積」；面積只是那張圖，真正的核心是從變化率把一個量累積出來。