無窮（infinity）
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無窮指的是「沒有盡頭」——某種永不停止、永不耗盡、沒有最後一步的東西。最關鍵的一點要弄清楚：它不是一個數。你數不到它，也不能對它做普通的算術運算：根本不存在一個「最大的數」讓你數著數著終於抵達，因為無論你說出哪個數，總能再加一。想像走在一條沒有盡頭的路上——不是很長的路，而是真的沒有最後一哩的路。
它為何重要：格奧爾格·康托爾發現了一件驚人的事——無窮不止一種。有些無窮嚴格地比另一些更大。1874 年，他證明了自然數 1、2、3……與 0 到 1 之間的全體實數是大小不同的兩種無窮：自然數固然沒完沒了，可那一小段線上的點——其中包括無限不循環的小數，而不只是規整的那些——卻是如此龐大的一群，以至於根本無法與自然數一一配對。1891 年，他給出了如今常講的那個漂亮證明，即對角線論證：把這些數隨你喜歡地排成一張清單，然後造一個新的數，讓它第一位與清單第一個數的第一位不同、第二位與第二個數的第二位不同，依此類推（避開 0 和 9，免得同一個值換一種小數寫法又混了回來）。你得到的這個數與清單上每一個數都不同——所以任何清單都裝不下它們全部。
一個常見的混淆需要澄清：一種是「潛無窮」，指一個過程總能再走一步（你在微積分裡遇到的 ∞ 符號，意思是「無限增大」）；另一種是「實無窮」，指一個已經完成的、無盡的整體，比如把全體自然數一次性看作一個集合。數學家曾認為只有前一種才算正經；康托爾了不起的一步，正是把後一種當作一個真實、可用的對象——並證明它還分大小。
自然數和偶數一樣多——把每個 n 與 2n 配對，誰也不剩，儘管偶數看起來只是其中的「一半」。
對無限集合而言，部分可以和整體一樣大——判斷「一樣多」的標準，是能否一一配對。
「∞」這個雙紐線符號由英國數學家約翰·沃利斯於 1655 年引入。康托爾後來把一個無盡集合的大小稱為它的「基數」：自然數擁有最小的無限基數，記作 ℵ₀（阿列夫零），而實數的基數則嚴格地更大。