初始條件

如果微分方程描述的是一族可能的歷史，那麼初始條件就是那張說明「哪一段歷史才真正屬於你」的快照。它是單一筆當下的知識——你此刻在哪裡——結合「事物如何變化」的規則，便決定了整個故事。沒有它，方程知道每一種可能未來的形狀，卻不知道你活在哪一種裡。

精確地說，初始條件指定未知函數（以及高階時，它的導數）在自變量某一特定值處的值，例如 y(0) = 5 或 y'(0) = 2。每一個條件讓你解出一個任意常數：把給定的點代入通解再解之。一階方程需要一個初始條件；n 階方程需要 n 個，全都在同一個點——一個給函數，其餘各給直到 n - 1 階的每個導數。它們合起來固定每一個常數、選出唯一的解。

從幾何上看，初始條件是平面上解曲線必須通過的單一個點，方程的斜率場便從那個錨點決定曲線的其餘部分。這就是為什麼極少量的資訊——一兩個數——足以鎖定一整個函數：微分方程提供了所有的結構，初始條件只需在族中作選擇。在建模中，初始條件不過是量測到的當前狀態，是你在預測未來之前實際知道的東西。