任意常數

為什麼解一個微分方程會在答案裡留下一個游離的字母 C？因為求解牽涉到還原導數——積分——而積分總會忘掉一個常數。x^2 與 x^2 + 7 的導數一模一樣，所以往回走時你分不出你是從哪一個出發的。那份剩下的、單靠方程無法固定的自由，便以任意常數的形式出現。

精確地說，任意常數是通解中的一個符號（通常是 C，高階時為 C1、C2、...），它可以取任何值，每個選擇都給出一個不同的有效解。它是微分方程所留下之自由的代數痕跡：一階方程產生一個這樣的常數，n 階方程產生 n 個，恰與階相符。在 y' = k y 中，解 y = C e^(kt) 對每一個 C 都成立——把它代回，C 會約掉，確認任何值都行。這些常數尚未被確定，因為方程只支配變化率，而非起始量。

任意常數正是初始或邊界條件所要填補的空格：每一個條件都是關於這些常數的一個方程式，你解之以釘住一個特解。有兩點值得記住。第一，仔細計數——n 階通解必須恰帶 n 個「獨立」的常數；太少表示你漏掉了解，而暗中塌縮為一個的常數（如 C 與 2C）不算獨立。第二，積分後你可以把游離的常數合併（寫成一個 C 而非 C1 - C2），這是正當的整理，不是作弊。