直接積分（direct integration）

直接積分是還原導數最基本的方法：若你知道 y'，就只要積分來找出 y，並為導數丟掉的資訊補上一個任意常數。它是最簡單的常微分方程核心的那個單一動作，也就是你在第一學期微積分遇到的同一個反微分，如今被看作解一個方程。

機制正是微積分基本定理的反向運行。給定 y' = f(x)，你計算一個反導數 F(x)，使 F'(x) = f(x)，那麼每個解都是 y = F(x) + C。任意常數 C 之所以出現，是因為微分抹去常數——無窮多條曲線有相同的斜率函數，只差一個垂直平移，而 C 標示你指的是哪一條。若你還有初始條件 y(x_0) = y_0，代入解出 C，就選定通過該點的那一條曲線。你也可以用定積分寫答案，y(x) = y_0 + 從 x_0 到 x 的 f(s) ds 的積分，它自動把初始條件內建進去。

直接積分是純時間方程背後的主力，也是幾乎所有其他方法的最後一步——分離以兩次積分收尾，積分因子配方以一次積分收尾。誠實的限制承襲自微積分本身：許多看似無害的函數沒有可用初等形式表示的反導數（e^(-x^2)、sin(x)/x、e^x/x），所以「用直接積分求解」有時意味著「把答案留作一個積分」或以數值方式求值。方程是解開了；只是那個積分可能根本沒有封閉形式。