基礎：什麼是微分方程
初值問題
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單獨一個微分方程通常有太多解——一整族——而在任何真實情境裡，你只想要其中一個：與事情實際起點相符的那一個。要得到它，你把方程和一個起始事實結合起來。「族群以這個速率成長，「而且」此刻它是 1000。」那種配對——一條規則加一個起點——就是初值問題。
精確地說，初值問題由一個微分方程，連同足夠多、在自變量單一個值處給定的初始條件所組成，以釘住那些任意常數。對一階方程，你給一個條件：解 y' = f(x, y) 並滿足 y(x0) = y0。對二階方程，你給兩個，通常是起點的值與斜率：y(x0) = y0 與 y'(x0) = y1——就像從已知位置、以已知初始推力釋放一個單擺。條件的數目與階相符，因為那恰是通解所帶的常數個數。
「初」這個字反映了物理圖像：所有條件都施加在單一瞬間（起點），方程接著把解向前（也向後）傳播。從幾何上看，方程給出積分曲線族，初始條件選出通過起點的那條單一曲線。這是大多數應用所採取的形式——你知道定律與當前狀態，而你想要未來——這也是為什麼我們通常求解的是初值問題，而非赤裸的方程。（若條件改為在兩個不同的點指定，那就是邊值問題，另一種野獸。）
解 y' = k y 並滿足 y(0) = 1000。通解 y = C e^(kt) 在 C e^0 = 1000 時符合條件，所以 C = 1000，給出唯一答案 y = 1000 e^(kt)。方程給出了族；初始條件挑出了一條曲線。
方程 + 起始值 = 一個確定的解。
初值問題的所有條件都在「同一個」點給定。若兩個條件施加在兩個不同的點，那是邊值問題，行為可能截然不同——包括無解或多解。
又稱
另見