雙曲測地線（hyperbolic geodesic）

在普通的平直幾何中，兩點間最短的路徑是一條直線。在雙曲幾何中同一原則成立——最短路徑仍稱為測地線——但因為雙曲尺在圓盤邊緣附近拉伸距離，這些最短路徑在歐氏眼中看起來是彎的。雙曲測地線是雙曲平面的「直線」：你為了以最短路線從一點走到另一點、用雙曲度量測量時，實際會走的那條路。

在龐加萊圓盤模型中，測地線有一個極為簡單的歐氏描述：它們恰是與邊界圓垂直相交的圓弧，連同圓盤的直徑（你可把它想成半徑無窮大的圓，同樣與邊界垂直相交）。要找兩個內部點之間的測地線，畫出通過兩者且與單位圓正交的那個唯一的圓；兩點之間的那段弧就是測地線。這些曲線最短的原因是它們避開昂貴的邊界區域而彎曲：一條歐氏直弦會太靠近邊緣，那裡每一步都昂貴，所以真正的最短路徑朝中心彎曲，那裡步伐便宜。通過任意兩相異點恰有一條測地線，而任一測地線延長後通向邊界圓上兩個相異的「無窮遠點」（它永不真正抵達）。

測地線是雙曲幾何的骨幹：雙曲三角形的邊是測地線，歐幾里得平行公設著名的失效表現為通過一點、全都避開某給定測地線的測地線有無窮多條，而雙曲距離正是沿著它們測量的。圓盤自同構把測地線映到測地線（它們是等距映射）。一個破除視覺錯覺的誠實提醒：雙曲測地線並不是紙面上看起來直的那條曲線——那條歐氏弦在雙曲長度上其實更長。只有直徑看起來是直的；其餘每條測地線都是朝中心鼓出的圓弧。