圓盤上的龐加萊度量（Poincaré metric on the disk）

龐加萊度量是住在單位圓盤上、具名的特定版本雙曲度量——龐加萊本人的雙曲平面模型。它的工作是把你能畫在紙上的圓盤，變成一張無限非歐世界的忠實地圖，正如地球的平面地圖為了把曲面塞進平紙而扭曲兩極。龐加萊圓盤是最著名的這類地圖：角度被忠實地畫出，但邊緣附近的距離被劇烈地壓縮。

它的定義公式給出點 z 處的線元 ds = 2 |dz| / (1 - |z|^2)。等價地，度量張量是 4 (dx^2 + dy^2)/(1 - |z|^2)^2——它是普通歐氏度量的常數倍，逐點以該密度放縮。因為它不過是歐氏度量的重新放縮（一個「共形度量」），它精確保留角度：龐加萊圓盤是保角的，儘管它在邊界附近距離上極度失真。這正是它對雙曲鋪砌的圖像如此生動的原因——著名的艾雪「圓極限」版畫就住在龐加萊圓盤裡，所有磚塊的雙曲尺寸相同，卻被畫成朝邊緣縮小。

龐加萊度量是施瓦茨-皮克引理、雙曲測地線以及雙曲面積與距離公式的標準居所。它與龐加萊上半平面模型（其中 ds = |dz|/y）共形等價，而一個解析的萬有覆蓋構造可把龐加萊型度量擴展到幾乎任何雙曲黎曼曲面上。一個仔細的提醒：「龐加萊度量」通常指這個曲率為 -1 的圓盤度量（因子 2 正是為使曲率為 -1 而選），但你也會在半平面上遇到它，並由施瓦茨-皮克遇到它，作為一切使解析自映射收縮的共形度量中的極值度量。這個名字紀念的是模型，而非異於「雙曲度量」的另一種幾何——它們是同一事物的兩個名字。