雙曲度量（hyperbolic metric）

度量不過是測量長度與距離的一套規則。雙曲度量是一套不同於普通歐氏的規則——在這套規則下，單位圓盤成為一整個非歐世界，即雙曲平面。在此度量下，你越靠近圓盤的邊緣，每一步就越「昂貴」：一條在邊界附近看似很短的路徑，以雙曲眼光看其實長得驚人，而邊界圓本身位於無窮遠處。拿這把尺住在圓盤裡，感覺就像住在一個無限的平面上，只不過它恰好被畫成朝一個有限的邊緣縮小。

具體地說，雙曲度量把點 z 處一個歐氏長度為 |dz| 的微小一步，賦予雙曲長度 2 |dz| / (1 - |z|^2)。密度因子 1/(1 - |z|^2) 在中心為 1，並在 |z| -> 1 時無界地增大，這正是它在邊緣附近拉伸距離的原因。要求一條曲線的雙曲長度，就沿著它對這密度積分；兩點間的雙曲距離則是所有連接曲線中長度的最小值。此度量具有常負曲率（連同因子 2 為曲率 -1；約定不一），這是雙曲空間的幾何標記。關鍵在於，圓盤的共形自同構恰恰就是它的等距映射——它們完美保持雙曲長度——這正是圓盤為何是雙曲幾何的齊性（處處相同）模型。

雙曲度量是隱藏在施瓦茨-皮克引理內的幾何意義：該引理不過是說，圓盤的解析自映射永不增加雙曲距離。它是雙曲幾何、模群、負曲率黎曼曲面與大部分複動力系統的天然舞台。一個值得指出的提醒：圓盤與上半平面承載相同的雙曲幾何——它們透過凱萊變換等距——只是密度的公式看起來不同（在半平面上是 |dz|/y，用虛部 y）。而「雙曲距離」確實是一種距離（滿足三角不等式），但它不是你眼睛看到的歐氏距離；圖像會騙人，度量不會。