m 階極點的留數公式（residue formula for a pole of order m）
當函數爆得比 1 / (z - z_0) 更快——像 1 / (z - z_0)^2 或 1 / (z - z_0)^3——單極點的把戲就失靈了，因為只乘一個 (z - z_0) 無法完全馴服奇點。對 m 階極點有一條稍重但仍機械化的公式，新成分是求導。
規則：若 f 在 z_0 有 m 階極點，則 Res(f, z_0) = (1 / (m - 1)!) 乘以 z 趨近 z_0 時，(z - z_0)^m f(z) 對 z 的第 (m - 1) 階導數的極限。道理如下。把 f 乘上 (z - z_0)^m 徹底清除極點，使其變成一個普通的解析函數 g(z) = (z - z_0)^m f(z)，其泰勒級數起始於 a_{-m} + a_{-m+1}(z - z_0) + ...。我們要的是 a_{-1}，它在 g 中是 (z - z_0)^(m-1) 的係數。泰勒定理說該係數等於 g^(m-1)(z_0) / (m - 1)!。所以你恰對 g 求 m - 1 次導、在 z_0 處取值、再除以 (m - 1)!。當 m = 1 時導數是第零階——不必求導——公式就塌縮為單極點的極限。
這個公式萬無一失，但當 m 大時求導會變得繁瑣，因此實務上許多人改用捷徑：把相關的分子展成泰勒級數、直接讀出 a_{-1}——對 m = 2 或 3 常更快。兩條路徑永遠一致；就你面前的題目挑代數較少的那條。
對 f(z) = e^z / z^2，0 處極點的階為 m = 2。Res(f, 0) = (1 / 1!) 乘以 z -> 0 時 d/dz 的 (z^2 f(z)) 的極限 = d/dz 的 e^z 在 0 處取值 = e^0 = 1。
用 (z - z_0)^m 清除極點，求導 m - 1 次，再除以 (m - 1)!。
你必須用正確的階 m。把 m 猜得太小會留下殘餘的爆破；猜得太大對極限無害但增加多餘的求導。先由極點的階確定 m。