極點的階（order of a pole）
並非所有極點都以相同速度爆掉。1/(z - z_0) 趨於無窮，但 1/(z - z_0)^2 衝得快得多，1/(z - z_0)^5 又更快。極點的階是衡量函數爆得多猛——尖峰多陡——的那個整數。1 階的極點稱為單極點；2、3 階等等則是二階、三階，依此類推。
形式上，階是羅朗級數中最深負項的大小 m：若 f(z) = a_{-m}/(z - z_0)^m + ... + a_{-1}/(z - z_0) +（解析部分）且 a_{-m} 不為零，則該極點的階為 m。有一個避開級數的整潔等價判別法：m 是使乘積 (z - z_0)^m 乘以 f(z) 在 z_0 處有可去奇點——也就是保持有界（事實上趨於一個非零極限）——的最小正整數。所以你問需要乘進幾個 (z - z_0) 因子才能馴服爆破，便求出階。第三條途徑：若 f = g/h、g 與 h 解析、g(z_0) 不為零，則 f 在 z_0 處極點的階等於 h 在 z_0 處零點的階。
知道階是計算留數前的實際第一步，因為你用的公式取決於它（單極點用一行極限；高階極點需要導數）。它也遵守乾淨的算術：函數相乘時極點階相加，分子中一個 k 階零點抵消分母中 k 個單位的極點階。這種對階的記帳法，正是讓亞純函數如此易於駕馭的原因。
對 f(z) = 1/(z^2 sin z) 在 z_0 = 0：sin z 在 0 有單零點（sin z 約為 z），故 1/sin z 有單極點，前面多出的 z^2 使 1/(z^2 sin z) 像 1/z^3 那樣爆掉——一個 3 階極點。驗證：z^3 f(z) = z/sin z 趨於 1，一個非零極限，確認階為 3。
數階：一個雙重因子乘以 sin 的單零點，給出一個三階極點。
階只對極點有定義——它是一個有限的正整數；本性奇點有「無窮多個」負項因而沒有有限的階，而可去奇點在完全沒有負項的意義下階為零。